Теория графов

Теория графов — раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E — подмножество V?V.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов „граф“ или „сеть“. Мы выбрали термин „сеть“, так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях». Аналогичная ситуация для «вершина/точка»

При изображении графов чаще всего используется следующая система обозначений: каждой вершине сопоставляется точка на плоскости, и если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки соединяются отрезком. В случае ориентированного графа отрезки заменяют стрелками.

Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, являются ли два изображения моделями одного и того же графа или нет. В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.

Некоторые задачи теории графов

•Семь мостов Кёнигсберга — один из первых результатов в теории графов, опубликован Эйлером в 1736.
•Проблема четырёх красок — была сформулирована в 1852 году, но неклассическое доказательство получено лишь в 1976 году (достаточно 4-х красок для карты на сфере (плоскости).
•Задача коммивояжёра — одна из наиболее известных NP-полных задач.
•Задача о клике — ещё одна NP-полная задача.
•Нахождение минимального стягивающего (оставного) дерева.
•Изоморфизм графов — можно ли путем перенумерации вершин одного графа получить другой или его часть.
•Планарность графа — можно ли изобразить граф на плоскости без пересечений ребер (или с минимальным числом слоев, что находит применение при трассировке межсоединений элементов печатных плат или микросхем).
К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.

Применение теории графов

•В химии (для описания структур, путей сложных реакций[1], правило фаз также может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений.
•В информатике и программировании
•В коммуникационных и транспортных системах. В частности, для маршрутизации данных в Интернете.
•В экономике
•В логистике
•В схемотехнике

АРХИВ КУРСОВ ВАЛЮТ | КУРС ДОЛЛАРА США | КУРС ЕВРО | КУРС РУБЛЯ | АКЦИИ И КОТИРОВКИ